Adaptace Matematických ALGoritmů: Vyšetřování průběhu funkce

1. Popis standardní metody algoritmu

2. Návrh možných adaptací

3. Ukázka provedení algoritmu nevidomým studentem

Ukázka je k dispozici v následujících formátech:

přímo jako webová stránka
soubor v BlindMoose: analysis_cs_bm.doc
soubor v Lambdě: analysis_cs.lambda
soubor MS Word: analysis_cs.doc

Příklad

Vyšetřete průběh funkce $f(x) =\frac{ x^3 }{ x^2 -1 }$ .

Řešení

1. Definiční obor funkce

$x^2 -1 \neq 0$
$x^2 \neq 1$
$x \neq\pm 1$

$D_f =(-\infty, -1) \cup (-1, 1) \cup (1, \infty)$
$-1$ and $1$ jsou body nespojitosti.

2. Sudá, lichá funkce

$f(-x) =\frac{ (-x)^3}{ (-x)^2 -1}=-\frac{ x^3}{ x^2 -1} =-f(x)$

Funkce je lichá.

3. Určení, kdy je graf funkce nad (resp. pod) osou $x$

Řešíme rovnici $f(x) =0$ :

$\frac{ x^3}{ x^2 -1} =0 \Leftrightarrow x =0$
$x \in (-\infty, -1): -$
$x \in (-1, 0): +$
$x \in (0, 1): -$
$x \in (1, \infty): -$

4. Monotónnost a body podezřelé z (lokálního) extrému

Řešíme rovnici $f'(x) =0$ :

$f'(x) =\frac{ 3x^2 *(x^2 -1) -x^3 *2x}{ (x^2 -1)^2}$
$=\frac{ x^4 -3x^2}{ (x^2 -1)^2}$
$=\frac{ x^2 *(x^2 -3)}{ (x^2 -1)^2}$

$x =0$
$x^2 -3 =0$
$x^2 =3$
$x =\pm\sqrt{ 3}$

$x \in (-\infty, -\sqrt{ 3}): +, \uparrow$
$x \in (-\sqrt{ 3}, 0): -, \downarrow$
$x \in (0, \sqrt{ 3}): -, \downarrow$
$x \in (-\infty, -\sqrt{ 3}): +, \uparrow$

Lokální maximum: $[-\sqrt{ 3}, \frac{ -3\sqrt{ 3}}{ 2}]$
Lokální minimum: $[\sqrt{ 3}, \frac{ 3\sqrt{ 3}}{ 2}]$

5. Úseky konkávnosti a konvexnosti

Řešíme rovnici $f''(x) =0$ :

$f''(x) =\frac{ (4x^3 -6x) *(x^2 -1)^2 -(x^4 -3x^2) *2(x^2 -1) *2x}{ (x^2 -1)^4}$
$=\frac{ 2x *(x^2 -1) *[(2x^2 -3) *(x^2 -1) -2(x^4 -3x^2)]}{ (x^2 -1)^4}$
$=\frac{ 2x *[(2x^2 -3) *(x^2 -1) -2(x^4 -3x^2)]}{ (x^2 -1)^3}$
$=\frac{ 2x *[2x^4 -3x^2 -2x^2 +3 -2x^4 +6x^2]}{ (x^2 -1)^3}$
$=\frac{ 2x *[x^2 +3]}{ (x^2 -1)^3}$

$2x =0 \Rightarrow x =0$
$x^2 +3\neq0$

$x \in (-\infty, -1)$ : $-$ , A
$x \in (-1, 0)$ : $+$ , V
$x \in (0, 1)$ : $-$ , A
$x \in (1, \infty)$ : $+$ , V

The inflexním bodem je bod $[0, 0]$ .

6. Asymptoty

Asympota se směrnicí $y =kx +q$ :

$k =\lim_{ x \rightarrow \pm\infty}\frac{ f(x)}{ x}$ $=\lim_{ x \rightarrow \pm\infty}\frac{ x^3}{ x^2 -1} :x$ $=\lim_{ x \rightarrow \pm\infty}\frac{ x^3}{ x *(x^2 -1)}$ $=\lim_{ x \rightarrow \pm\infty}\frac{ x^2}{ x^2 -1} =1$

$q =\lim_{ x \rightarrow \pm\infty}(f(x) -kx)$ $=\lim_{ x \rightarrow \pm\infty}(\frac{ x^3}{ x^2 -1} -x)$ $=\lim_{ x \rightarrow \pm\infty}(\frac{ x^3 -x(x^2 -1)}{ x^2 -1})$ $=\lim_{ x \rightarrow \pm\infty}\frac{ x}{ x^2 -1} =0$

Asymptotou se směrnicí je přímka $y =x$ .

Asymptoty bez směrnice:

$\lim_{ x \rightarrow -1^-}\frac{ x^3}{ x^2 -1}=\lim_{ x \rightarrow -1^-}\frac{ x^3}{ x +1} *\frac{ 1}{ x -1} =-\infty$
$\lim_{ x \rightarrow -1^+}\frac{ x^3}{ x^2 -1}=\lim_{ x \rightarrow -1^+}\frac{ x^3}{ x +1} *\frac{ 1}{ x -1} =\infty$
$\lim_{ x \rightarrow 1^-}\frac{ x^3}{ x^2 -1}=\lim_{ x \rightarrow 1^-}\frac{ x^3}{ x +1} *\frac{ 1}{ x -1} =-\infty$
$\lim_{ x \rightarrow 1^+}\frac{ x^3}{ x^2 -1}=\lim_{ x \rightarrow 1^+}\frac{ x^3}{ x +1} *\frac{ 1}{ x -1} =\infty$

Asymptotami bez směrnice jsou přímky: $x =-1$ a $x =1$ .

7. Závěrečný popis grafu

Funkce je definována pro $x \in (-\infty, -1) \cup (-1, 1) \cup (1, \infty)$ . Graf je omezen asymptotami bez směrnice $x =-1$ a $x =1$ a asymptotou se směrnicí $y =x$ . Graf má dále dva lokální extrémy, lokální maximum: $[-\sqrt{ 3 }, \frac{ -3 \sqrt{ 3 } }{ 2 }]$ a lokální minimum: $[\sqrt{ 3 }, \frac{ 3 \sqrt{ 3 } }{ 2 }]$ .

Graf funkce leží pro interval $x \in (-\infty, -1)$ pod osou $x$ , má lokální maximum v bodě $[-\sqrt{ 3 }, \frac{ -3 \sqrt{ 3 } }{ 2 }]$ , má konkávní tvar a leží vlevo od asymptoty $x =-1$ . Ypsylonová souřadnice asymptoty $y =x$ v bodě $x =-\sqrt{ 3 }$ je $-\sqrt{ 3 }$ , což je více než $f( - \sqrt{ 3 }) =-\frac{ 3 \sqrt{ 3 } }{ 2 }$ , tedy funkční hodnota maxima. Graf funkce $f$ se v intervalu $(-\infty, -1)$ nachází pod asymptotou $y =x$ .

Graf funkce v intervalu $(-1, 1)$ prochází průsečíkem s osami $x$ a $y$ v bodě $[0, 0]$ , tento bod je současně také inflexní. Graf funkce zde mění svůj tvar z konvexního na konkávní, funkce se nachází mezi asymptotami $x =-1$ a $x =1$ , asymptota $y =x$ kříží graf funkce v bodě $[0, 0]$ .

Graf funkce v intervalu $(1, \infty)$ leží celý nad osou $x$ , má lokální minimum v bodě $[\sqrt{ 3 }, \frac{ 3 \sqrt{ 3 } }{ 2 }]$ , má konvexní tvar a leží vpravo od asymptoty $x =1$ . Ypsylonová souřadnice asymptoty $y =x$ v bodě $x=\sqrt{ 3 }$ je $\sqrt{ 3 }$ , což je méně než $f(\sqrt{ 3 }) =\frac{ 3 \sqrt{ 3 } }{ 2 }$ , tedy funkční hodnota minima. Graf funkce $f$ se v intervalu $(1, \infty)$ nachází nad asymptotou $y =x$ .

4. Vykreslení grafu funkce a jeho adaptace

Tradičním úkolem studentů, kteří vyšetřují průběh funkce, je i závěrečné vykreslení jejího grafu. Prokazují tím, že rozumí významu všech údajů, které před tím spočítali, a dovedou je poskládat dohromady. Pro nevidomého je však tento úkol nepoměrně náročnější. Nabízí se tři možné typy adaptace:

příprava hmatové verze grafu s použitím vhodné asistivní technologie
textový popis grafu, z něhož bude naprosto zřejmé, jak graf vizuálně vypadá
výběr z několika již připravených grafů v hmatové podobě

S účastníky workshopu na ICCHP Summer University 2012 v Linci jsme diskutovali výhody a nevýhody všech tří adaptací. Je patrné, že ruční příprava hmatového obrázku funkce je pro nevidomého časově náročná. Navíc úsilí, které musí vynaložit, aby výsledek jeho práce odpovídal skutečnosti, je neporovnatelně větší než u vidících studentů.

Z vlastních zkušeností můžeme potvrdit, že i druhá metoda adaptace není pro nevidomého příliš snadná. Je třeba dlouhodobého tréninku, než se nevidomý student naučí dostatečně srozumitelně popsat graf funkce, jejíž vlastnosti předtím spočítal. Častou chybou je nesprávné pořadí informací, jaké při popisu podává. Soustředí se nejdříve na detaily a až poté charakterizuje obecné vlastnosti. Aby si nevidomý student dokázal výslednou podobu grafu dokonale představit, je třeba výsledný popis spojit s hmatovým obrázkem. Potvrdila to účastnice zmíněného workshopu, učitelka matematiky pro nevidomé: "Myslím si, že pokud nevidomý nemá k dispozici výsledný obrázek a pouze popíše, jak by měla funkce vypadat, o něco přichází. Popis nenahradí stoprocentně obrázek."

Kontrola správnosti popisu grafu může být velmi jednoduchá. Nevidomý student poskytne svůj popis učiteli či spolužákovi, aniž by mu předem sděli předpis funkce, a požádá jej o nakreslení grafu. Odpovídá-li nákres požadovanému výsledku, je slovní charakteristika grafu v pořádku. Tento test jsme udělali i s účastníky několika seminářů pro pedagogické pracovníky. V jejich průběhu jsme je požádali o zakreslení grafu jen na základě slovního popisu studenta uvedeného v předchozí části. Potvrdilo se nám, že popis je vytvořen dobře, informace jsou vhodně strukturované a pro učitele nebyl problém se v nich vyznat. Zajímavým postřehem může být absence několika detailů, kterých jsme si jako učitelé nevidomého studenta nevšimli, například absence výpočtu první derivace v inflexním bodě, který odhalí, jak se graf funkce v okolí zmíněného bodu mění, jak moc přiléhá k ose $x$ .

Náročnost úkolu adaptovaného třetí metodou závisí na několika faktorech. Předně, čím více připravených hmatových obrázků, tím je pro nevidomého časově náročnější je porovnat a vybrat z nich ten správný. Další kritérium ovlivňující složitost úkolu spočívá v tom, do jakých detailů se jednotlivé obrázky odlišují. Jsou-li rozdíly nepatrné a ne příliš postřehnutelné, bude pro nevidomého velmi náročné vybrat tu správnou variantu. Myslíme si také, že tato adaptace testuje jiné dovednosti než v případě vidících studentů, kteří nakreslením obrázku potvrdí, že si veškeré vypočítané výsledky umí dát dohromady a představit si je v podobě grafu. Naproti tomu nevidomý si všímá pouze toho, v čem se již připravené hmatové obrázky liší a vybírá ten, který odpovídá výsledkům předchozí práce, tj. vypočítaným vlastnostem funkce.